零的特性

甲内容提要

一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。　　　零是自然数，是整数，是偶数。

1，  零是表示具有相反意义的量的基准数。

例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高

收支衡可记作结存0元。

2，  零是判定正、负数的界限。

若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0

记作　a＞0   a是正数　　读作a＞0等价于a是正数

　　　　b<0   b 是负数

　　　　c≥0   c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）

　　　　d 0   d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0)

　　　　e 0   e不是0 　（即e不是0，而是负数或正数）

3，  在一切非负数中有一个最小值是0。

例如　绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。

记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，

a²≥0，a²有最小值0（当a=0时）。

4，  在一切非正数中有一个最大值是 0。

例如　－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），

　　－（X－2）² 0，当X＝2时，－（X－2）²的值最大，是0。

二，零具有独特的运算性质

1，  乘方：零的正整数次幂都是零。

2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；

零不能作除数。从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。

3，  乘法：零乘以任何数都得零。　即a×0＝0，

反过来　如果　ab=0,那么a、b中至少有一个是0。

要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。

4，  加法　互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。

　　　    即a、b互为相反数 a+b=0

5，  减法　两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，

若a-b=0,则a=b; 　　若a-b＞0,则a＞b;　 　若a-b＜0,则a＜b。

反过来也成立，当 a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0.

三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。

例如　近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下：

1.55 近似数1.6<1.65　　　1.595≤近似数1.60<1605

乙例题

例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？

答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。

例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？

答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。

例3．要使下列等式成立X、Y应取什么值？为什么？

　　①X（Y－1）＝0，　　②　｜X－3｜＋（Y＋2）²＝0

答：①根据任何数乘以0都得0，可知当X＝0时，Y可取任何数；

当Y＝1时，X取任何数等式X（Y－1）＝0都是能成立。

　　　②∵互为相反数相加得零，而｜X－3｜≥0，（Y＋2）²≥0 ，

∴它们都必须是0，即X－3＝0且Y＋2＝0，

故当X＝3且Y＝－2时，等式｜X｜＋（Y＋2）²＝0成立。

丙练习4

1，  有理数a和b的大小如数轴所示:

       b       0    a

比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接）

2a  0,　  　－3b  0, 　 　　   0, 　  　　－ 　0，　

　－a²   0,    　－b³  0,　　　　　a+b  0,    　　a－b  0,  

  　ab  0,　  (－2b)³   0,    　　   0,   　　　   0

2,  a表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。

　｜a|>a,   　 a²> －a²,    　a>－a,    　a+1>a

3,  x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：＿＿句。

　①（x－2）²有最小值0，　　③　－｜x+3|有最大值0，

②       2－x²有最大值2，　　　④　3＋｜x－1｜有最小3。

4，绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？

5，  要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？

① ＝0，　②X（X－3）＝0，　③｜X－1｜＋（Y＋3）²＝0

6，  下列说法正确吗？为什么？

①　a的倒数是 　　　②方程（a－1）X＝3的解是X＝

③       n表示一切自然数，2n－1表示所有的正奇数

④       如果a>b, 那么m²a>m²b (a 、b 、m都是有理数 )

7，  X取什么值时，下列代数式的值是正数？

①　X（X－1）　　②　X（X＋1）（X＋2）