1．求解通过薄金属板的电流产生的磁场的磁感强度

如图一所示，一宽为b的薄金属板，其电流为I.试求：

在薄板的平面上，距板的一边为r的点P的磁感强度。

解：在薄金属板所在的平面内，以点P为原点O，做 轴如图二所示，现将薄金属板分割成宽度为 的长直线电流，其电流为

该线电流在P点激发的磁感强度为

所有线电流在点P激发的磁场的方向均相同，因而点P的磁感强度B为

这表明，在 时，可将宽度为b的载流薄金属板视作载流线，B的分布曲线如图三。

2．证明霍尔电场强度与稳恒电场强度之比

试证明霍尔电场强度与稳恒电场强度之比

这里 为材料的电阻率，n为载流子的数密度。

分析：在导体内部，稳恒电场推动导体中的载流子定向运动形成电流，由欧姆定律的微分形式，稳恒电场强度与电流密度应满足

其中 是导体的电阻率。当电流流过位于稳恒磁场中的导体时，载流子受到洛仑兹力的作用，导体侧面出现电荷积累，形成霍尔电场，其电场强度为

其中V是载流子定向运动的速率。根据导体内部的电流密度

由上述关系可得到要证明的结果。

证明：由分析可知，在导体内部的稳恒电场强度为

由霍尔效应，霍尔电场强度为

因为载流子定向运动的方向与磁感强度正交，故 ，因而

3．求解半导体载流子的浓度

载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或者五价掺杂原子的浓度，来控制P型或者N型半导体的载流子浓度。利用霍尔效应可以测量载流子的浓度或者类型。如图所示一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品表面，样品中通过的电流为I，现在测得霍尔电压为 ，证明样品载流子浓度为

证明：通电半导体中的载流子在洛仑兹力的作用下，逐渐积累在相距为b的导体两侧，形成霍尔电压

而流经导体横截面S(S=bd)的电流为

由此可得到，载流子的浓度为

4．求解加磁场后水银的流速

如图所示，有一个长为 ，宽为b，高为h的矩形管，图中前后两侧面（阴影部分）为导体板，其余部分为绝缘板，用导线将两金属板相连，金属板和导线的电阻可以忽略不计。今有电阻率为 的水银流过矩形管，流速为 .设管中水银的流速与管两端的压强差成正比，已知流速为 时的压强差为 ，在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场，磁感强度为B，试求：

加磁场后水银的流速。

解：由分析可以得到，由于水银的流动，产生压差的增量为

此时管两端的压差为

又根据题意，有

解，得到

5．求解输电线中的电流和输送的电功率

一直流变电站将电压为500kV的直流电，通过两条截面不计的平行输电线输向远方。已知两输电导线间单位长度的电容为 ，若导线间的静电力与安培力正好抵消，试求：

（1）       通过输电线的电流；

（2）       输送的功率。

分析：当平行输电线中的电流相反时，它们之间存在相互排斥的安培力，其大小可由安培定律确定。若两导线间距为d，一导线在另一导线位置激发的磁感强度 ，导线单位长度所受安培力的大小为 。由于电流是电荷的定向运动形成的，可将导线看作带等量异号电荷的导体，因为两导线间单位长度的电容C和电压U已知，则单位长度导线所带的电荷 ，一导线在另一导线位置所激发的电场强度 两导线间的单位长度所受的静电吸引力 。使静电力和安培力正好抵消，即

可以解得输电线中的电流。

解：由分析，单位长度导线所受的安培力和静电力分别为

由于 ，可得到

解，得到

（2）输出功率为

。

6．求解载流平面上单位面积所受的磁场力

将一电流均匀分布的无限大载流平面放入磁感强度为 的均匀磁场中，电流方向与磁场方向垂直。放入后，平面两侧磁场的磁感强度分别为 和 ，如图一。试求：

该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小和方向。

解：无限大载流平面两侧为均匀磁场，磁感强度的大小为 ，依照右手螺旋定则可知，它们的方向反向平行，并与原有磁感强度 的均匀外加磁场叠加，则有

从而可得到原来均匀磁场的磁感强度 和电流面密度 。

载流平面在均匀外磁场中受到安培力的作用，由于载流平面自身激发的磁场不会对自身的电流产生作用力，因此作用在dS面积上的安培力为

由此可以求得单位面积上所受的安培力。

则，  

外磁场 作用在单位面积载流平面上的安培力

依照右手定则可知磁场力的方向为水平指向左侧。

7．求解圆环受到的磁力矩

如图一所示，电阻率为 的金属圆环，其内外半径分别为 和 ，厚度为d.圆环放入磁感强度为 的均匀磁场中， 的方向与圆环平面垂直，将圆环内外边缘分别接在如图索示的电动势为 的电源两极，圆环可绕通过环心垂直环面的轴转动，求：

圆环所受的磁力矩。

分析：圆环通电后，在内外边缘之间电势差的作用下，电流沿径向均匀分布。若在金属环上取如图二所示的微元，该微元沿径向的电阻为

积分，可以得到金属圆环的径向电阻为

并由此求得径向电流

在磁场中电流受安培力的作用。注意安培力 仅适用于线电流。将圆环径向电流分割为线电流 ，线电流元受到的磁力为

方向沿圆周切向。该力对轴的磁力矩的大小为

圆环面上电流元对轴的磁力矩方向相同，为了垂直纸面沿转轴向外，因而金属圆环所受的磁力矩

解：金属圆环的径向电阻为

径向电流为

金属圆环所受的磁力矩为

磁力矩的方向垂直纸面沿轴线向外。

8．求解轴线上某点的磁感应强度和旋转圆片的磁矩

半径为R的圆片均匀带电，电荷面密度为 ，令该圆片以角速度 绕通过其中心且垂直于圆平面的轴旋转。试求：

轴线上距离圆片中心为x处的P点的磁感应强度和旋转盘片的磁矩。

解：旋转盘片可以视为一组同心圆电流，在盘面上割取细圆环，如图一，其中等效圆电流

此圆电流在轴线上点P处激发的磁感强度的大小为

所有圆电流在轴线上激发的磁场均沿Ox轴，因而点P处的合磁场为

旋转磁片的磁矩为

解：由上述分析可知，轴线上x处的磁感强度的大小为

圆片的磁矩 的大小为

磁感强度 和磁矩 的方向都沿Ox轴正向。

9．求解电磁炮弹上的磁场力和炮弹的速率

如图所示是一种正在研究中的电磁轨道炮的原理图。该装置可用于发射速度高达 的炮弹。炮弹置于两条平行导轨之间并与轨道相接触，轨道是半径为r的圆柱形导体，轨道间距为d.炮弹沿轨道可以自由滑动。恒流电源 、炮弹和轨道构成一闭合回路，回路中的电流为I。

（1）       试证明作用在炮弹上的磁场力为

（2）假设 炮弹从静止起经过一段路程 加速后的速率为多大？（设炮弹的质量为 ）

分析：电源、轨道和炮弹构成闭合回路，流过炮弹的电流为 ，载电流的炮弹在磁场内受磁场力的作用而加速，获得较大的发射速度。

取对称轴线为x轴，由题意，炮弹处的磁感强度可近似当作两根半无限长的载流圆柱在该点激发的磁感强度之和

炮弹所受的磁场力的大小为

磁场力的方向沿x轴，炮弹从静止起被磁场沿x轴方向加速，出口时达到的速率为

解：炮弹所受的磁场力为

炮弹出口时的速率为