一、平均值不等式

设a₁,a₂,…, a_n是n个正实数，则 ，当且仅当a₁=a₂=…=a_n时取等号

1.二维平均值不等式的变形

(1)对实数a,b有a²+b²³2ab　　　　　　　　　 (2)对正实数a,b有

(3)对b>0，有 ， 　　 (4)对ab²>0有 ，

(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b)　　　　　　　　　　　　　　　 (6)对a>0,有

(7) 对a>0,有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8)对实数a，b有a²³2ab-b²

(9) 对实数a，b及l¹0，有

二、例题选讲

例1.证明柯西不等式

证明：法一、若 或 命题显然成立，对 ¹0且 ¹0，取

代入(9)得 有

两边平方得

法二、 ，即二次式不等式 恒成立

则判别式

例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：

(1)

(2)

证明：(1)左= [ ]

=

³

(2)由 知

同理：

相加得：左³

例3.求证：

证明：法一、取 ，有

a₁(a₁-b)³b(a₁-b), a₂(a₂-b)³b(a₂-b),…, a_n(a_n-b)³b(a_n-b)

相加得(a₁²+ a₂²+…+ a_n²)-( a₁+ a₂+…+ a_n)b³b[(a₁+ a₂+…+ a_n)-nb]³0

所以

法二、由柯西不等式得： (a₁+ a₂+…+ a_n)²=((a₁×1+ a₂×1+…+ a_n×1)²£(a₁²+ a₂²+…+ a_n²)(1²+1²+…+1²)

=(a₁²+ a₂²+…+ a_n²)n,

所以原不等式成立

例4.已知a₁, a₂,…,a_n是正实数，且a₁+ a₂+…+ a_n<1，证明：

证明：设1-(a₁+ a₂+…+ a_n)=a_n+1>0,

则原不等式即nⁿ⁺¹a₁a₂…a_n+1£(1-a₁)(1-a₂)…(1-a_n)

1-a₁=a₂+a₃+…+a_n+1³n

1-a₂=a₁+a₃+…+a_n+1³n

…………………………………………

1-a_n+1=a₁+a₁+…+a_n³n

相乘得(1-a₁)(1-a₂)…(1-a_n)³nⁿ⁺¹

例5.对于正整数n，求证：

证明：法一、

>

法二、左=

=

例6.已知a₁,a₂,a₃,…,a_n为正数，且 ，求证：

(1)

(2)

证明：(1)

相乘左边³ =(n²+1)ⁿ

证明(2)

左边= -n+2(

= -n+2×[(2-a₁)+(2-a₂)+…+(2-a_n)](

³ -n+2×n