一、选择题

1．（2000年北京市中学生数学竞赛）已知函数y=f(x)有反函数，现将y=f(2x-1)的图象向左平移2个单位，所得图形表示的函数的反函数是（ ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

2．（2001年全国高中数学联赛）函数 的值域为_____。

3．（2001年全国高中数学联赛）不等式 的解集为___________。

4．（2001年北京市中学生数学竞赛）函数f(x)对于任意非负实数x、y都满足 ，且f(x)≥0，f(1)≠0，则 =______。

三、解答题

5．（2000年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2，设g(x)=f(x)-x，

（1）求证g(x)是周期函数；

（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。

6．（2000年全国高中数学联赛）若函数 在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求区间[a，b]。

7．（第一届“希望杯”全国邀请赛试题）求函数

在区间[-1，1]上的值域。

8．（第九届“希望杯”全国邀请赛试题）若实数x满足不等式

。试求函数 的最大值。

9．（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）作函数 的图象。

10．（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）函数 是偶函数还是奇函数？

11．（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法。

具体方案如下：

原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：

（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；

（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；

（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由。

参考答案

1．A   由于“抽象”没有具体的函数表达式，使题目显得有些难，化难为易的方法因而也就是化抽象为具体，不妨设f(x)=x+1（这样符合原题“f(x)有反函数”的规定）。于是以下种种全具体化了。反函数是 ， ，向左平移2个单位所得图形表示的函数 。这个函数的反函数 ，再与4个选择来对照。

A项 是 符合，

B项 是 不合，

C项 是 不合，

D项 是 不合。故选A。

2．

两边平方得 ，从而 且 。

由 或y≥2。

任取y≥2，由 ，易知x≥2，于是 。

任取 ，同样由 ，易知x≤1。

于是 。

因此，所求函数的值域为 。

3．

等价于 或 。即 或 。

此时， 或 或 。

∴解为x>4或0<x<1或 。

即解集为 。

4．

这题f(x)不容易具体化，但是它的值则是可以具体化的。例如设x=0，y=0。

则由 ，

得 ， ，f(0)=0。

再设x=0，y=1。

得 ，以f（0）=0代入 ，已知f(1) ≠0，

∴ 。

设x=1，y=1，

得 ，

即 。

设x=2，y=1，

得 ，

。

设x=0， ，得 ，

∴ 。

设x=0， ，

得 ，

即 ， 。

至此可求 ，

。

5．解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题

（1）g(x)=f(x)-x，

可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，

g(x+3)=f(x+3)-x-3，

再以f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2代换，可得

，①

，②

由①可得g(x+4) ≥f(x+2)-x-2

≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，

g(x+6) ≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③

由②可得g(x+6) ≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④

由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。

∴g(x)是周期函数获证（6是它的一个周期）

（2）2000-998=1002是6的整数倍，所以

g(2000)=g(998)，即f(2000)-2000=f(998)-998

f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。

本题的不同之处在于没有“具体化”，而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系，进而得到g(x+6)=g(x)，以达到证明的目的。

6．解f(x)的最大值只能是 ，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一，令 ，且 ，即可得关于a、b的方程组，解出a、b的值。

当a值由负值增大到正值时，区间[a，b]在x轴上自左向右移动，因此在求f(x)的最值时，须按区间[a，b]的位置分类求解。

f(x)图象顶点坐标为

， 。

（1）当a<b<0时，

由f(x)在[a，b]上单调递增得，f(a)=2a，且f(b)=2b

即

于是a、b是二次方程 的两个负根，但此方程两根异号，故区间[a，b]不存在

（2）当a<0<b时，

f(x)在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，因而f(x)在x=0处取得最大值，在区间端点x=a或x=b处取得最小值，

即

则 ，

∴ ，

解得 ，

于是得区间 。

（3）当b>a≥0时

由f(x)在[a，b]上单调递减得，f(a)=2b，且f(b)=2a，

即

解得 或 （舍去）

即得区间[1，3]。

综上所述，所求区间为[1，3]或

7．解： 。值域为 。

8．解： 。