2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）

理科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

考生注意：

1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题

1．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（    ）

3．在中，，．若点满足，则（    ）

A． B． C． D．

C． D．

10．若直线通过点，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（    ）

A． B．  C． D．

12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（    ）

A．96 B．84 C．60 D．48

2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修选修Ⅰ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：在试题卷上作答无效）

13．若满足约束条件则的最大值为           ．

14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为            ．

15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率           ．

16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于          ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

（注意：在试题卷上作答无效）

设的内角所对的边长分别为，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最大值．

18．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．

19．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 

    左平移个单位得到函数的图像.

9.D．由奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，.

10.D．由题意知直线与圆有交点，则.

另解：设向量，由题意知

由可得

11.C．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为.

另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为

长度均为，平面的法向量为,

则与底面所成角的正弦值为.

12.B.分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；种四种花有种种法.共有.

另解：按顺序种花，可分同色与不同色有

13.答案：9．如图，作出可行域，

作出直线，将平移至过点处

时，函数有最大值9.

14. 答案：2.由抛物线的焦点坐标为

为坐标原点得，，则

与坐标轴的交点为，则以这三点围成的三角形的面积为

15.答案：.设，则

，.

16.答案：.设，作

，则，为二面角的平面角

，结合等边三角形

与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则

,

故所成角的余弦值

另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

则点,

,

则,

故所成角的余弦值.

17.解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及

可得

即，则；

（Ⅱ）由得

当且仅当时，等号成立，

故当时，的最大值为.

18．解：（1）取中点，连接交于点，

，，

又面面，面，

．

，

，，即，

面，．

（2）在面内过点作的垂线，垂足为．

，，面，，

则即为所求二面角的平面角．

，，，

，则，

，即二面角的大小．

19. 解：（1）求导：

当时，，，在上递增

当，求得两根为

即在递增，递减，

递增

（2），且解得：

 20．解：（Ⅰ）对于甲：

对于乙：

．

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，的期望为．

21. 解：（Ⅰ）设，，

由勾股定理可得：

得：，，

由倍角公式，解得,则离心率．

（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立

将，代入，化简有

将数值代入，有,解得

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.

 （Ⅲ）证明：由．可得

1， 若存在某满足，则由⑵知：

2， 若对任意都有，则

，即成立.